[개발자를 위한 실전 선형대수학] 벡터의 확장 개념

 

개발자를 위한 실전 선형대수학(Practical Linear Algebra for Data Science)

2장 벡터, 파트 2 : 벡터의 확장 개념

 

 

 

 

 

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벡터 집합(set)

- 벡터들의 모음, 대문자 이탤릭체로 표기

 

선형 가중 결합

- 선형 가중 결합 (linear weighted combination) : 여러 변수마다 가중치(또는 계수)를 다르게 주어 정보를 혼합하는 방법

= 선형 혼합(linear mixture), 가중 결합(weighted combination)

 

- 선형 가중 결합은 단순하게 말하면 스칼라-벡터 곱셈을 한 다음 합을 하는 것

linear weighted combination

 

 

선형 독립성

- 벡터 집합에서 적어도 하나의 벡터를 집합의 다른 벡터들의 선형 가중 결합으로 나타낼 수 있을 때, 벡터 집합을 선형 종속적(linearly dependent)이라 한다.

- 집합에 있는 벡터들의 선형 가중 결합으로 집합의 아무런 벡터도 나타낼 수 없다면, 해당 벡터 집합은 선형 독립적(linearly independent)이라 한다.

★ 벡터 집합은 선형 독립적이거나 선형 종속적일 수 있다. 집합 내의 개별 벡터의 속성이 아니고, 벡터 집합의 속성이다.

 

- 데이터 과학 분야에서는 선형 독립성을 어떻게 알 수 있는가?, 벡터 집합으로 행렬을 만들고 행렬의 계수를 계산한 다음 행의 수와 열의 수 중에서 더 작은 값을 비교하는 것

 

- 수학적 정의

 

선형 종속적이라면 집합의 벡턱들의 선형 가중 결합으로 영벡터를 만들 수 있다

 

→ 영벡터가 포함된 모든 벡터 집합은 당연히 선형 종속적인 집합이다.

 

부분공간(subspace)과 생성(span)

- "유한한 벡터 집합의 동일한 벡터들을 사용하지만 다른 가중치 숫자를 사용해서 무한히 선형 결합하는 방식으로 벡터 부분 공간을 만듭니다. 그리고 가능한 모든 선형 가중 결합을 구성하는 메커니즘을 벡터 집합의 생성(span)이라고 한다."

 

기저(basis)

- 기저 : 행렬의 정보를 설명하는 데 사용하는 기준의 집합

★ ▶ 기저는 단순히 생성과 독립성을 결합한 것이다. 벡터 집합이 특정 부분 공간을 생성하고(span) 독립적인 벡터 집합이라면(independent) 해당 부분공간의 기저이다.

- 가장 일반적인 기저 집합은 데카르트 좌표계(Cartesian Coordinate System)